As non es gis (2)
Le 2, 7–8 e 26–31 de octobre, le
Introduction
Isto es le subsequentia del previe articulo, que se tracta de notas que appare in duo contextos musical, e assi muta de rolo, e a vices etiam obtene un nomine nove: un nota ‘as’ (a bemolle, A♭) deveni un ‘gis’ (sol diese, G♯).
In instrumentos a claviero (piano, organo, accordion) e instrumentos con un manico de tastos fixe (guitarra, mandolino, viola da gamba, banjo), un ‘gis’ es identic a un ‘as’. Le alturas tonal es equal. Instrumentos sin tastos (anglese: fretless instruments), como le violino e violoncello, offere nonobstante le possibilitate de differentiar inter tal notas. Altere exemplos de tal notas enharmonicamente equal es: eis/f/geses, bes/ais, es/dis, des/cis, ges/fis, bis/c/deses.
Ma como facer le differentia? Es un ‘gis’ plus alte que un ‘as’, o plus basse? E proque? E quanto plus basse o alte? Isto es le thema de iste secunde articulo in le serie.
Grecos e alteres
Le responsa depende del systema de intonation, le maniera de determinar le altores, le frequentias, del notas in le scala musical usate.
Ja le grecos del evo antique se occupava con iste questiones del theoria de musica. Como io lo habeva comprendite, Pythagoras (Πυθαγόρας; si, ille del theorema super le lateres de un triangulo) habeva describite un theoria de scalas, in que solo le factores 2 e 3 es permittite, ergo le octava (2:1), e le quinta (3:2) e quarta (4:3) es le elementos constructive de gammas e intervallos.
Ma de facto, como io lege in 2020, multo poco es cognite con certitude super le vita de Pythagoras, e necun texto de su mano ha essite retenite. Inter scientistas il ha duo scholas con un vision differente: alcunes, notabilemente Walter Burkert, vide(va) Pythagoras como le fundator de un religion, un typo de shaman, e si ille pensava de mathematica e musica, su scopos era in cosmologia speculative, symbolismo numeric, e technicas magic.
Altere scientistas, le plus influente le russo Leonid Zhmud (Леонид Яковлевич Жмудь), argue que le elementos shamanistic era addite plus tarde, per autores comic qui voleva ludificar Pythagoras, e per tal tendentias in le epocha del imperatores roman. Le ver Pythagoras historic secundo Zhmud era un philosopho, qui se occupava del astronomia, geometria, arithmetica, e theoria de musica.
Comocunque, le facto remane que con le numeros 2 e 3 on pote construer intervallos musical. Qui pila duo quintas e ‘subtrahe’ un octava, obtene un secunda major con le ration de frequentias 9:8, nam 3/2 * 3/2 / 2/1 = 1,125. Repeter le procedura resulta in un tertia major de 81:64.
On vide que le elegantia de usar solo duo factores, 2 e 3, non mena sempre a rationes elegante con basse numeros. Illo es pejor si nos reguarda le intervallo inter le quarta (a 4:3) e le tertia major ja obtenite: 4/3 / 81/64 = 256:243!
De un altere greco, qui viveva circa 200 annos plus tarde, Aristoxenos de Tarento (greco: Ἀριστόξενος ὁ Ταραντῖνος), io pensava haber comprehendite que ille permitteva un factor plus que Pythagoras, nam le 5, e assi arrivava a rationes plus simplice: 5:4 pro le tertia major, e 6:5 pro le tertia minor, que in le systema pythagoric es 32:27.
Ma in le Wikipedia io non trova un clar mention del factor 5: lege qui vole e pote sur su vita e obra in anglese, o sur su vita in germano. Plus tarde Boethius (477–524), Gioseffo Zarlino (1517–1590), e Hermann von Helmholtz (1821–1894), in su obra de 1863: “Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik”, ‘Le doctrina del sensation de tonos como base physiologic pro le theoria de musica’, se ha occupate plus evidentemente con le thema. E multe alteres.
Un intonation que usa le factores 2, 3 e 5 es hodie anque appellate, in anglese, le 5-limit tuning. On pote anque considerar le addition del factores 7 (7-limit tuning), 11, e mesmo 17. In mi opinion, illos es practicate in musica oriental (arabe, turc, grec).
Notas dissonante
Battimentos
Intuitivemente il sembla plausibile que intervallos cuje frequentias ha un ration con parve numeros integre, es consonante e sona melio que quando le numeros es plus grande, que genera dissonantia. Ma proque? Il ha duo explicationes.
Ma primo un demonstration. (Vide etiam le tablatura.) On audi un quinta juste, le notas ‘d’ e ‘a’ (146,7 e 220 Hz), pois le mesme con le nota ‘a’ circa un quinte de un semitono (circa 22,6 cents) plus alte, pois plus basse. Le prime intervallo sona agradabile, le duo alteres clarmente non.
Que seque es le intervallo ‘prima’, i.e. duo vices le mesme nota,
ma con un del quales disaccordate. Anque isto non sona bon. On audi
le battimentos (Wikipedia in
germano e
francese): fluctuationes lente del
amplitude total. On pote audir sed etiam vider lo: hic
un screenshot ex le programma
audacity. Battimentos es in essentia un forma de
interferentia. Isto es le prime explication del dissonantia:
le duo notas con frequentias quasi equal alternativemente se
reinfortia e se attenua, per attinger in phase e in contraphase.
Battimentos lente ancora pote sonar agradabilemente, ma rapides
non.
Un exemplo de battimentos on audi al fin (0m11s) del fragmento, al qual io ja refereva al conclusion del previe articulo. Ci il ha un imitation del chorda le plus basse del guitarra, a 82,5 Hz. Signales non purmente sinusoidal sempre contine harmonicos: frequentias que es un multiplo exacte del sono fundamental. Ergo harmonico numero 5 ha le frequentia de 5 x 82,5 = 412,5 Hz.
Il ha la anque un nota gis, sur le chorda le plus alte del guitarra, in le ration pythagoric de 81:64, ma duo octavas plus alte, ergo 81:16. Su frequentia es dunque 417,65625 Hz. Le differentia es 5,15625 Hz. (Limitationes technic del exemplo, facite per un programma que activa un chip OPL de Yamaha, como lo del Soundblaster, emulate per DOSBox, face que le ver differentia es 4,74 Hz.)
Cinque equala a 80:16, e le ration pythagoric es 81:16, ergo on audi hic le differentia de 81:80, le assi appellate comma didymic (Wikipedia in espaniol), como un battimento.
Tonos differential
Le altere explication del phenomeno de dissonantia ha a vider con non-linearitate e distortion. Si le propagation o amplification de un signal es in certe mesura non-linear, i.e. depende del amplitude momentanee, le resultato es frequentias differential e summal.
Le principio de frequentias differential on usa in le radiotechnica (o usava, le radio traditional deveniente gradualmente obsolete): frequentias in le unda medie inter 531 e 1602 kHz es transformate a un frequentia medie fixe de 455 kHz (o 452, 460 etc.), per applicar, con non-linearitate, le signal de un oscillator syntonisabile inter 986 e 2057 kHz. Facer un filtro stricte pro un sol station de radio es plus facile si le frequentia es fixe, que facer un filtro syntonisabile.
Isto es un receptor superheterodyne.
Le mesme principio es applicate un secunde vice pro reganiar le signal audio modulate sur le unda portator: le non-linearitate de un diodo, o un transistor specialmente adjustate, genera frequentias differential inter le portator e le bandas lateral, e isto es le signal audio originalmente modulate.
Le systema superheterodyne es anque usate pro le banda FM (frequency modulation; in germano UKW, Ultrakurzwelle, undas ultracurte): 118,7 minus 10,7 MHz es 108,0, e 98,2 minus 10,7 es 87,5 MHz.
Retro al musica: distortion harmonic per non-linearitate es ubique: in amplificatores, altoparlatores, e mesmo in le aure human, specialmente si il ha multe decibeles. In le technica hi-fi illo es un phenomeno indesiderate, que on combatte le plus possibile. Ma pro le guitarra electric, lo que esseva primo un limitation del apparatos, se ha developpate a un medio pro donar el instrumento su character unic. Multo characteres de facto, dependente del grado del distortion e del stilo musical, de blues e jazz al pop, usque le heavy metal.
Le precio nonobstante es dissonantia. Le battimentos ha un frequentia differential, que on audi como variationes in le amplitude del tonos original. Le frequentia differential mesme non es presente. In le caso de distortion totevia, le tonos differential de facto existe in le spectro resultante.
Ma un tono de circa 5 hertz es inaudibile, nonne? Le spectro audibile es de circa 20 a 20.000 Hz (pro infantes; minus alte pro adultos a mesura que le etate avantia). Como pote un tono inaudibile esser un problema? Le responsa es in le harmonicos. Lo que eveni inter le quinte harmonico de 82,5 Hz, e le tertia major (plus duo octavas), anque eveni inter le decime e secunde harmonicos del duo notas (frequentia differential 10,3125 Hz), inter le decimoquinte e tertie (15,46875), e assi il continua usque in le area audibile.
Un nota del qual le frequentia fundamental, o anque alcun harmonicos basse, manca o es a pena audibile, tamen sona como ille nota. De facto, mesmo notas ben intra le area audibile del aure human, es difficile a audir si solo le fundamental es presente, i.e. le signal, le unda, es exactemente sinusoidal.
In le demonstration il ha notas de 110 Hz. Non un nota multo basse, nam le chorda 5 del guitarra, A (numero 6, E, es le plus basse). Quando on lo sona in un guitarra, le nota es clarmente audibile. Ma in le demonstration ab le Soundblaster (emulate, ma ben emulate), on audi multo poco initialmente. Un nota ben audibile resulta solo per activar le generation de frequentias harmonic del Soundblaster (chip OPL2 o OPL3), per le methodo FM synthesis, synthese per modulation de frequentia.
Triades
Le theoria de musica es importante, ma le musica mesme ancora plus. Como sona le intonation pythagoric, e lo de Aristoxenos o Zarlino? Vamos audir un exemplo. Il ha quatro accordos major de tres notas, ergo quatro triades. Le notas es g-b-d. Le prime es de maniera de Pythagoras, le secunde con rationes que permitte anque le factor 5, pois le duo triades de novo.
Depost seque le mesme, ma ora con accordos minor, g-bes-d.
Finalmente, iste mesme octo triades, ma in accordatura equidistante.
Que es melior? Pro le accordo major, io clarmente prefere Zarlino, ergo le secunde e quarte que on audi. Quanto al accordo minor, io ha alcun dubita, ma alora anque prefere Zarlino.
Intermezzo technic
Pro facer mi exemplos io usa un programma que io scribeva ja in 1992 e 1993, pro sonar files de tablatura pro guitarra al Soundblaster, e plus tarde anque le Gravis Ultrasound. Recentemente io ha retestate e ameliorate le programma, e il es ora possibile specificar le notas como positiones de fret exacte (numeros integre, e.g. 2, 3, 5 etc.), ma anque como numeros con decimales pro obtener intervallos intermedie, e mesmo como rationes de numeros integre. Le programma permitte un duetto de duo guitarras.
Proque computers moderne non plus possede un carta de sono Soundblaster, io testa le programma ora in DOSBox, un systema que emula le vetule MSDOS includente un carta Adlib o Soundblaster.
Le tablatura pro le triades, justo discutite, es assi. E lo del notas dissonante es sic. Le exemplos al fin del previe articulo (vide hic) es assi: equidistante 1 e 2 , Zarlino 1 e 2 , Pythagoras 1 e 2 , e Pythagoras de novo, ma specificate in un maniera differente, 1 e 2 .
Le altores del tonos specificate es reducite a 24 scalones per octavo, que naturalmente anque contine le 12 semitonos del scala equidistante. Alternativemente totevia, on pote usar un subdivision del octava in 53 partes equal. Iste repartition miraculosemente contine bon approximationes pro quasi tote le altores determinate per rationes de numeros integre, como usate in le systemas pythagoric e zarlinesc.
Un fonte additional de imprecision es que le Soundblaster (plus correctemente: le chips de Yamaha del familia OPL) governa le frequentia del notas con un numero de 10 bits, ergo con 1024 valores distincte. (In addition, il ha 3 bits pro specificar le octava.) Pro accuratessa maximal, on normalmente usa le valores 512 usque 1023, proque le ration de 511 e 510 es le duplice de lo de 1021 e 1020. Le resolution varia assi inter 3,38 cents (513/512) e 1,69 cents (1023/1022).
| Intervallo | Ration | Frequentia (Hz) | Cents in rel. a 220 Hz | Approximation, partes / octavo | Frequentia (Hz, Δ cents) |
Factor Yamaha OPL | Frequentia (Hz, Δ cents) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| prima | 1:1 | 195,556 | −203,910 | −9/53 | 195,571 (+0,136) | 516 | 195,720 (+1,455) |
| tertia minor | 32:27 | 231,770 | 90,225 | 4/53 | 231,815 (+0,341) | 611 | 231,754 (−0,119) |
| tertia minor | 6:5 | 234,667 | 111,731 | 5/53 | 234,867 (+1,476) | 619 | 234,788 (+0,896) |
| tertia major | 5:4 | 244,444 | 182,404 | 8/53 | 244,265 (−1,271) | 644 | 244,271 (−1,231) |
| tertia major | 81:64 | 247,500 | 203,910 | 9/53 | 247,480 (−0,136) | 652 | 247,305 (−1,364) |
| quinta | 3:2 | 293,333 | 498,045 | 22/53 | 293,345 (+0,068) | 773 | 293,201 (−0,783) |
Le formula del chips OPL de Yamaha es:
14318180/4/72 * factor * 2^(20 − octava).
Retro al question
Ancora, post tantos parolas scribite e calculationes facite, il non es clar que es plus alte, un gis o un as. Ecce le calculationes, acceptante le factores 2 e 3, o anque 5.
Three-limit
In le tabella ci infra io ha listate le rationes de frequentias de un scala major pythagoric (assi appellate, ben que nos non sape si Pythagoras vermente esseva le inventor). Isto io ha displaciate assi que le scala comencia con ‘a’ in vice de ‘c’. De major a minor, de ionian a eolian (ben que iste nomines de facto forsan non es correcte: vide Modalité grégorienne e Octoéchos).
| Nota | Ration desde le nota c |
Ration desde le nota a |
Cents desde le nota a |
|---|---|---|---|
| a | 27:32 | 1:1 | 0,0 |
| b | 243:256 | 9:8 | 203,9 |
| c | 1:1 | 32:27 | 294,1 |
| d | 9:8 | 4:3 | 498,0 |
| e | 81:64 | 3:2 | 702,0 |
| f | 4:3 | 128:81 | 792,2 |
| g | 3:2 | 16:9 | 996,1 |
| as | 128:81 | 4096:2187 | 1086,3 |
| gis | 6561:4096 | 243:128 | 1109,8 |
| a | 27:16 | 2:1 | 1200,0 |
Le nota ‘as’ (a bemolle) io ha calculate desde le nota ‘f’, per superponer le ration pythagoric del tertia minor, 32:27. Nam 4:3 x 32:27 = 128:81, e 128:81 x 32:27 = 4096:2187.
Le nota ‘gis’ (g diese) io ha calculate desde le nota ‘e’, per superponer le ration pythagoric del tertia major, 81:64. Nam 81:64 x 81:64 = 6561:4096, e 3:2 x 81:64 = 243:128.
Le ‘as’ es plus basse que le ‘gis’. Isto io ha cifrate in tablaturas:
Le resultato sona assi. Non multo bon.
Five-limit
Ora le mesme cosa con un intonation de Aristoxenos o Zarlino o qui sape qui exactemente lo ha inventate. Displaciar le scala de ‘c’ ora non functiona ben, proque le distantias parve (10:9) e grande (9:8) del secunda major assi arriva in positiones que non es optime. Eo io ha compilate primo le scala minor desde le nota ‘a’, e le scala major desde ‘c’ es la solo in modo demonstrative.
| Nota | Ration desde le nota c |
Ration desde le nota a |
Cents desde le nota a |
|---|---|---|---|
| a | 5:6 | 1:1 | 0,0 |
| b | 15:16 | 9:8 | 203,9 |
| c | 1:1 | 6:5 | 315,6 |
| d | 10:9 | 4:3 | 498,0 |
| e | 5:4 | 3:2 | 702,0 |
| f | 4:3 | 8:5 | 813,7 |
| g | 3:2 | 9:5 | 1017,6 |
| gis | 25:16 | 15:8 | 1088,3 |
| as | 8:5 | 48:25 | 1129,3 |
| a | 5:3 | 2:1 | 1200,0 |
Le nota ‘as’ (a bemolle) io ha calculate desde le nota ‘f’, per superponer le ration pur del tertia minor, 6:5. Nam 4:3 x 6:5 = 8:5, e 8:5 x 6:5 = 48:25.
Le nota ‘gis’ (g diese) io ha calculate desde le nota ‘e’, per superponer le ration pur del tertia major, 5:4. Nam 5:4 x 5:4 = 25:16, e 3:2 x 5:4 = 15:8.
Le ‘as’ es plus alte que le ‘gis’. Isto io ha cifrate in tablaturas: partes 1 e 2 .
Le resultato sona assi. Anque non multo bon. Bizarre, de facto. Ma non alterar le ‘as’, lassar lo retener le mesme altor tonal que antea, sona multo multo mal!
Equidistante
A vices io pensa que Leonid Kogan legiermente altiava su nota, que poterea indicar que ille violinista sequeva le maniera pythagoric, ma plus probabilemente isto es un illusion, e il non ha un differentia. Ergo le orchestra e le instrumento solista sona in le scala equidistante? Io trova iste demonstration, con le 12 notas per octava de un piano, le melior.
Le theoria mathematic del intonation musical es un cosa, musica es un altere.
Addition le 19 de januario 2022: Vide anque le articulo Enharmonic in le Wikipedia in anglese, que in le subsection Examples in practice da plure exemplos additional interessante. Kudos e gratias.