14 en
“Opvallend is dat ar-râst geen reine kwint heeft!”, verzuchtte ik bijna 21 jaar geleden. Het ging over een Arabische toonladder, waarvoor ik verhoudingsgetallen voor de toonfrequenties had gereconstrueerd. Bij de vijfde toontrap, de kwint, zou je verwachten vrijwel precies op 700 cent uit te komen, dus zeven gelijkzwevende halvetoonsafstanden, maar het bleken er maar 680,45 te zijn. Hoe kan dat nou?
Pas gisteren zag ik opeens de oplossing: door 80 in 81 te veranderen, ofwel 13⅓ in 13½, klopt het wel! Waardoor had ik dat niet eerder gezien? Doordat ik te veel vasthield aan de gelijkenis met andere toonladders, al-bayâtî en al-sîkâh, die op te vatten zijn als verschuivingen van dezelfde intervallen.
De wijziging van 80 naar 81 wisselt de intervallen 10:9 en 9:8 tussen kwart en kwint resp. kwint en sext om. Hieronder geef ik weer de tabel van toen, met eronder de gewijzigde versie.
Sullam maqâmât ar-râst (سلّم مقامات الراست)
| 1 | 9 | 54 | 1:1 | - | 0,00 |
| 2 | 10 | 60 | 10:9 | 10:9 | 182,40 |
| 3 | 11 | 66 | 11:9 | 11:10 | 347,41 |
| 4 | 12 | 72 | 4:3 | 12:11 | 498,04 |
| 5 | 13⅓ | 80 | 40:27 | 10:9 | 680,45 |
| 6 | 15 | 90 | 5:3 | 9:8 | 884,36 |
| 7 | 16½ | 99 | 11:6 | 11:10 | 1049,36 |
| 8 | 18 | 108 | 2:1 | 12:11 | 1200,00 |
Dit wordt nu:
| 1 | 9 | 54 | 1:1 | - | 0,00 |
| 2 | 10 | 60 | 10:9 | 10:9 | 182,40 |
| 3 | 11 | 66 | 11:9 | 11:10 | 347,41 |
| 4 | 12 | 72 | 4:3 | 12:11 | 498,04 |
| 5 | 13½ | 81 | 3:2 | 9:8 | 701,96 |
| 6 | 15 | 90 | 5:3 | 10:9 | 884,36 |
| 7 | 16½ | 99 | 11:6 | 11:10 | 1049,36 |
| 8 | 18 | 108 | 2:1 | 12:11 | 1200,00 |
Indertijd had ik alleen de stijgende toonladder geanalyseerd. Mijn bron van toen geeft de dalende net even anders, met op de voorlaatste, zevende trap geen halve mol maar een hele mol. De noot beh is dan bes. Ook dat blijkt bij nader inzien heel gemakkelijk te passen in mijn schema: 99 wordt 96. De kleine terts van 12:10 ofwel 6:5, stijgend verdeeld in 11:10 en 12:11, wordt dalend op meer westerse wijze gesplitst in 9:8 en 16:15.
| 1 | 9 | 54 | 1:1 | - | 0,00 |
| 2 | 10 | 60 | 10:9 | 10:9 | 182,40 |
| 3 | 11 | 66 | 11:9 | 11:10 | 347,41 |
| 4 | 12 | 72 | 4:3 | 12:11 | 498,04 |
| 5 | 13½ | 81 | 3:2 | 9:8 | 701,96 |
| 6 | 15 | 90 | 5:3 | 10:9 | 884,36 |
| 7 | 16 | 96 | 16:9 | 16:15 | 996,09 |
| 8 | 18 | 108 | 2:1 | 9:8 | 1200,00 |
Ook de toonladder as-sîkâh, waarin ik indertijd geen reine kwart van vrijwel 500 cent aantrof, blijkt vrij eenvoudig te fixen: 80 wordt 81 en 90 wordt 88. Het was zo:
Sullam maqâmât as-sîkâh (سلّم مقامات السيكاه)
| 1 | 11 | 66 | 1:1 | - | 0,00 |
| 2 | 12 | 72 | 12:11 | 12:11 | 150,64 |
| 3 | 13⅓ | 80 | 40:33 | 10:9 | 333,04 |
| 4 | 15 | 90 | 15:11 | 9:8 | 536,95 |
| 5 | 16½ | 99 | 3:2 | 11:10 | 701,96 |
| 6 | 18 | 108 | 18:11 | 12:11 | 852,59 |
| 7 | 20 | 120 | 20:11 | 10:9 | 1035,00 |
| 8 | 22 | 132 | 2:1 | 11:10 | 1200,00 |
En wordt zo:
| 1 | 11 | 66 | 1:1 | - | 0,00 |
| 2 | 12 | 72 | 12:11 | 12:11 | 150,64 |
| 3 | 13½ | 81 | 27:22 | 9:8 | 354,55 |
| 4 | 14⅔ | 88 | 4:3 | 88:81 | 498,05 |
| 5 | 16½ | 99 | 3:2 | 9:8 | 701,96 |
| 6 | 18 | 108 | 18:11 | 12:11 | 852,59 |
| 7 | 20 | 120 | 20:11 | 10:9 | 1035,00 |
| 8 | 22 | 132 | 2:1 | 11:10 | 1200,00 |
Ik kwam op deze oplossingen toen ik voor een
nieuwe artikelserie
uitzocht hoe de muzieknotatiesoftware Lilypond (mooie naam trouwens,
‘lelievijver’) ondersteuning biedt voor Turkse muziek. In de include
file genaamd “turkish-makam.ly” komt ook een toonladder
“Rast” voor, die echter erg veel lijkt op een gewone westerse
grotetertstoonladder, uiteraard met een normale kwint van rond
de 700 cent.
Ook de Wikipedia stelt Rast zomaar gelijk met de westerse major scale, maar merkt daarbij op: “In common Arabic and Turkish practice, the third note e𝄳 and the seventh note b𝄳 in Rast are even lower than in this theory, [...]”. Ik denk dat ik wel weet hoe dat komt: het volgt uit de opeenvolging van relatief kleine verhoudingsgetallen voor de frequenties van de noten, zoals ik die aangaf in mijn tabellen. Negen, tien, elf. Dat levert voor de terts van Rast 347,408 cent op (verhouding 11:9), niet 386,314 cent (verhouding 5:4) en ook niet 384,906 (17 komma’s van 1/53 octaaf, namelijk 8 plus 9).
De naam en toonladder Rast is trouwens van origine niet Arabisch, ook niet Turks, maar eerder Perzisch. Die taal is, in tegenstelling tot die beide andere, wél verwant met het Nederlands, en het verwante woord, de cognate van ‘rast’ blijkt ‘recht’. De rechte, eenvoudige, zuivere, reine toonladder, dat is misschien in dit verband de betekenis.