10 plus 10 is 21

18 november 2011

Rare optelsom

Eergisteren had ik op Twitter een meningsverschil met iemand. Ik beweerde namelijk dat 10 plus 10 21 is. Dat vond hij maar raar. En dat is het ook, want bij een gewone optelsom is 10 en 10 natuurlijk 20. Dat weet ik ook best.

Toch had ik ook gelijk, om mijn manier. Het ging in de discussie (jawel, een discussie, op Twitter!; soms lukt dat, ondanks de veel te korte berichten) namelijk over percentages. En dan is 10 plus 10 wel degelijk 21. Niet eens ongeveer 21, maar precies 21.

Reken maar mee:

Eerst is het 100 procent. Daar komt 10 procent bij, dan heb je er 110. Vervolgens komt er nog eens 10 procent bij, niet van 100 maar van 110!
110 + 10% =
110 + (10/100 * 110) =
110 + (0,1 * 110) =
110 + 11 =
121

Het eindbedrag is 121, dat is 21% meer dan 100.

Bij laag percentage verwaarloosbaar

Dit effect zie je alleen duidelijk bij wat grotere percentages, en bij kleinere alleen op de lange duur. Vandaar dat ik meteen 10 procent als voorbeeld koos.

In principe is ook een half procent gevolgd door een half procent niet precies één procent, maar iets meer. Alleen is het verschil zo klein dat je het bijna niet ziet. Voor de meeste toepassingen is het daarom ook onbelangrijk, irrelevant, verwaarloosbaar.

Berekening, eerste stap:
100 + 0,5% =
100 + (0,5/100 * 100) =
100 + (0,005 * 100) =
100 + 0,5 =
100,5
.

Tweede stap:
100,5 + 0,5% =
100,5 + (0,5/100 * 100,5) =
100,5 + (0,005 * 100,5) =
100,5 + 0,5025 =
101,0025
.

Als ik ‘plus’ bij het rekenen met procenten even onzorgvuldig opvat als ‘achtereenvolgens toegepast’, dan blijkt dat 0,5% + 0,5% = 1,0025%. Dat verschil is zo klein dat het zelden van belang is. Kleine percentages mag je dus bij goede benadering wel gewoon optellen. Grote percentages niet. En als je heel veel kleine percentages verkeerd optelt, wordt de afwijking op den duur ook wezenlijk.

Niet goedgemaakt

Zoals 10 plus 10 soms 21 is, zo is 10 min 10 niet altijd nul.

Stel dat de economie met 10 procent krimpt. (Het is niet te hopen, alleen al omdat dan het geweeklaag niet van de lucht zou zijn. Laatst toen kwartaal 3 maar liefst 0,3 procent lager uitviel dan kwartaal 2 stond bijna heel Nederland op z’n kop. Nog net geen bloedbad op de beurzen.)

Stel, de periode daarop groeit de economie gewoon weer met 10 procent. (Schommelingen heb je altijd wel eens, nietwaar.) Niks aan de hand, zou je zeggen, dan is het oorspronkelijke peil weer hersteld.

Maar dat is niet zo!

Stel het (iets, maakt niet uit wat precies) was eerst 100 miljard. Het daalt met 10%. Dan heb je nog 90 miljard. Simpel.

Vervolgens komt er weer 10% bij. Maar dat is 10% van 90 miljard, niet van de oorspronkelijke 100 miljard! De toename is dus
90 * (10/100) = 90 * 0,10 = 9. De uitkomst is 90 + 9 = 99, en niet de oorspronkelijke honderd.

Andersom

Als het andersom is, eerst groei en dan krimp, kom je ook niet op nul uit.

100 miljard plus 10 procent is 110 miljard. 110 miljard min 10 procent is 110 miljard min 11, is 99 miljard.

Door de variatie raak je een heel miljard kwijt. Ogenschijnlijk natuurlijk, want echte percentages zijn steeds anders, niet evenveel min als het eerst plus was.

Rekenmachine

Het verbaast me dat het antwoord in beide gevallen 99 is. Ik had intuïtief gedacht dat eerst omhoog en dan omlaag een ander resultaat zou geven dan eerst omlaag en dan omhoog. Daarom maar even nagerekend op een rekenmachine. Het klopt.

Zelfs (of juist) eenvoudige rekenmachientjes hebben meestal een procenttoets. Daarmee kun je berekeningen met procenten handig uitvoeren, handiger dan ik eerst liet zien. (Maar door zelf doen heb je wel meer controle, want je ziet tussenresultaten.)

Het kan ook op de Rekenmachine die bij Microsoft® Windows® zit. Eerst moet je zo nodig bij Beeld omschakelen van Wetenschappelijk naar Standaard. Maar de standaardwaarde is al Standaard, dus het omschakelen hoeft niet, tenzij je eerder zelf de wetenschappelijke stand had aangezet.

De toetsaanslagen zijn dan:
100 + 10 % =
Antwoord: 110.
Vervolgens: - 10 % =
Dat levert op: 99.

Omgekeerd:
100 - 10 % =
Antwoord: 90.
Vervolgens: + 10 % =
Dat levert op: 99.

Percentage waarvan?

Dat is de clou: bij percentages moet altijd duidelijk zijn hoeveel procent iets is VAN WAT!! Soms is dat impliciet duidelijk (iedereen begrijpt vanzelf, of uit ervaring, hoe het bedoeld is), vaak ook is het verstandig het er toch maar duidelijk en uitdrukkelijk (dus expliciet, met een moeilijker woord) bij te zeggen.

Dat gebeurt lang niet altijd. Ik zie vaak in kranten en tijdschriften dat het er niet bij staat en dat toch misverstand mogelijk is.

Een schrijver moet zich altijd verplaatsen in de positie van de lezer, die vaak minder inzicht in het onderwerp heeft en daardoor sneller dingen verkeerd kan opvatten. Voor de schrijver is iets gauw vanzelfsprekender dan voor de lezer.

Spaarrekening

Rente op rente

Deze percentageberekeningen komen ook voor bij leningen en spaarrekeningen.

Bij sommige spaarrekeningen krijg je de rente jaarlijks apart uitgekeerd. De berekening is dan eenvoudig. Je legt bijvoorbeeld 1000 euro in bij een vaste rente van 2,5 procent. De rente is elk jaar 25 euro. Simpel.

Maar er zijn ook spaarrekeningen waarbij de rente automatisch wordt bijgeschreven op dezelfde rekening. Je mag die rente er boetevrij afhalen, maar het hoeft niet. Laat je de rente staan, dan ontstaat het verschijnsel ‘rente op rente’.

Omdat de uitgekeerde rente zelf ook op die rekening staat, is die ook rentedragend. Dat levert iets meer rente op dan als de jaarlijks rente meteen was uitgekeerd of van de rekening gehaald.

Gevolg is dat je na bijvoorbeeld 5 jaar niet 5 keer 2,5 procent rente hebt ontvangen, maar iets meer. Hoeveel meer? Dat kunnen we stap voor stap uitrekenen of in een keer op de wetenschappelijke rekenmachine.

Stap voor stap

NB, ik rondde steeds af op twee cijfers, zoals gebruikelijk bij bedragen.

Met de rekenmachine

De herhaalde berekening kunnen we ook in één keer doen, door middel van machtsverheffen. Zeker als het over veel meer jaren gaat, bijvoorbeeld 10 of 30, is dat handig.

Zoals optellen herhaald tellen is, en vermenigvuldigen herhaald optellen, zo is machtsverheffen herhaald vermenigvuldigen.

We schakelen de rekenmachine hiervoor om naar de stand Wetenschappelijk, dan gaat het makkelijker. Er komen dan meer toetsen en functies beschikbaar.

Eerste schrijven we het percentage als factor. Ergens 2,5 procent bij optellen is hetzelfde als vermenigvuldigen met
(100 + 2,5) / 100 ofwel met 1,025.

Omdat het over vijf jaar gaat, verheffen we die factor 1,025 tot de vijfde macht. De toetsaanslagen zijn:
1,025 x^y 5 =

Resultaat: 1,131408212890625.
Dit vermenigvuldigen we met de oorspronkelijke 1000 (de zogeheten hoofdsom), dat levert op: 1131,41 (Ik rond nu pas af, aan het eind.)

Door de verschillende manier van afronden is er een gering verschil met de stap-voor-stap-berekening, maar in principe klopt het.

We zien hieruit ook dat 5 keer 2,5 procent met samengestelde interest (dat is een andere uitdrukking voor ‘rente op rente’) niet 12,5% is, maar ruim 13,1%.

Als de periode langer is, wordt het verschil, zelfs bij dit betrekkelijk lage percentage, een stuk groter. Zo is 30 jaar 2,5 procent niet 75%, maar veel meer. Berekening:
(((1 + 2,5/100) ^ 30) - 1) * 100 =
(((1 + 0,025) ^ 30) - 1) * 100 =
((1,025 ^ 30) - 1) * 100 =
(2,0976 - 1) / 100 =
109,76

In plaats van 75% is de groei van het spaarbedrag dus maar liefst bijna 110%!

Gemiddelde groei

We kunnen ook de omgekeerde situatie bekijken. We weten dan hoeveel groei er in totaal is over een periode van meerdere jaren. Hoeveel is dat dan gemiddeld per jaar?

Dat was in de Twitterdiscussie ook oorspronkelijk de vraag. Het ging over 20% groei over 5 jaar. Op het eerste gezicht is dat gewoon 4% per jaar. Maar door het cumulatie-effect klopt dat niet. Het juiste antwoord is 3,714 procent.

Berekening:
(1,20 ^ (1/5))– 1) * 100.

We passen hier ook machtverheffing toe, maar met één vijfde (dus 0,2) in plaats van 5. Eigenlijk is het dus worteltrekken (de vijfde wortel uit 1,2), geen machtsverheffen.

(Omdat dit ook met gebroken getallen kan, werkt het intern in de rekenmachine waarschijnlijk met logaritmen, of rechtstreeks met een reeksontwikkeling voor machtsverheffen. Maar dat voert te ver, het gaat nu alleen om het resultaat.)

Nog een voorbeeld: een verdubbeling in 10 jaar, dus 100% toename in 10 jaar, is dat 10 procent per jaar gemiddeld? Nee, minder:
2 ^ 0,1 = 1,0717734625362931642130063250233, dus bijna 7,2% is al genoeg.

(Ik gebruik hier het symbool ^ als operator voor machtsverheffen. Op de weten­schappe­lijke rekenmachine gaat dat met de toets met het label x^y. Maar dat had u als lezer waarschijnlijk al begrepen.)

Huizenprijzen

Nog een voorbeeld van dezelfde soort berekening, maar over een andere situatie.

Als een rijtjeshuis in 1981 115.000 gulden kostte, en nu in 2011 kan het 199.000 euro opbrengen, hoeveel is het dan gemiddeld per jaar (bruto, zonder inflatiecorrectie) duurder geworden?

Ik geef de formule nu in één keer zonder verdere uitleg:
(199 / (115 / 2,20371)) ^ (1 / (2011 - 1981)) = 1,0456.
Dat is dus gemiddeld 4,56% per jaar. Net iets meer dan de inflatie, waarschijnlijk.

Begrotingstekort en staatsschuld

Ik zei eerder al dat je niks aan een percentage hebt als je niet weet waarvan het zoveel procent is. Als die basis verschillend is, kun je percentages ook niet met elkaar vergelijken.

Zo maakte ik laatst zelf bijna een denkfout (in gedachten nog, niet op ‘papier’):

Volgens Europese afspraken mogen landen in de eurozone een begrotingstekort hebben van maximaal 3 procent en een staatsschuld van niet meer dan 60 procent.

Zelfs landen met een goede begrotingsdiscipline zitten toch meestal nog wel op die 3 procent. Een lager tekort of zelfs een begrotingsoverschot komt niet vaak voor. (Hoewel Nederland het een paar jaar terug wel soms had.)

Mijn gedachte was toen: begrotingstekort betekent meer uitgaven dan inkomsten, dus bijlenen. (Tot zover klopt het.) Dan komt er bij die staatsschuld van misschien al wel 60 procent toch weer elk jaar 3 procent bij!

Maar dat is niet zo!

Het begrotingstekort is namelijk uitgedrukt als percentage van het begrotingstotaal (Correctie)! De staatschuld daarentegen is een percentage van het bbp (bruto binnenlands product).

Er is geen enkele reden waarom die basisbedragen aan elkaar gelijk zouden zijn. Dus zijn die 3 procent en die 60 procent ook niet met elkaar vergelijkbaar en mag je die niet samen in een berekening betrekken!

Om het nog ingewikkelder te maken is de basis elk jaar anders. Zo is het voor een regering mogelijk bij te lenen (en zich dus populair te maken door middel van ‘leuke dingen voor de mensen’) zonder dat de staatsschuld (als percentage van het bbp) toeneemt! Door de economische groei is 60% van het bbp van volgend jaar namelijk meer dan 60% van dit jaar.

Ik vermoed dat dat een van de redenen is waarom mensen, en regeringen in het bijzonder, zo paniekerig doen als er eens even geen groei is maar een lichte krimp: zelfs als de inkomsten en uitgaven in evenwicht zouden zijn, dus een begrotingstekort van nul, neemt de staatsschuld (als percentage) dan toe!

Zelf heb ik het idee dat het helemaal niet erg is als het dan eens wat meer is en dan eens wat minder. Dat kan als je maar reserves hebt. Maar een bijeffect van de (op zich heilzame) democratie is dat regeringen geneigd zijn veel uit te geven en de belastingen laag te houden: alleen zo zijn ze populair en maken ze kans op herverkiezing! Uiteindelijk kan dat leiden tot een schuldencrisis.


Correctie

(Een correctie die ik al aanbreng tijdens het schrijven, nog voor publicatie. Is juist goed, zo illustreer ik mijn eigen dubbele denkfout. Laat extra zien dat je altijd goed moet kijken waar het precies over gaat, in het algemeen maar zeker bij percentages.)

Ik beweerde:

Het begrotingstekort is namelijk uitgedrukt als percentage van het begrotingstotaal

Maar dat klopt niet! In Wikipedia staat:

[...] afspraken over een maximaal begrotingstekort van 3% van het bbp en een maximale overheidsschuld van 60% van het bbp.

In beide gevallen is de basis van het percentage dus het bruto binnenlands product (bbp). De percentages zijn wel vergelijkbaar en optelbaar!

(Ik heb het ook gecontroleerd in de Engelse Wikipedia en in de Engelse versie van de officiële verdragstekst.)


Naschrift 5 april 2012

In NRC stond een artikel dat fraai mijn stelling onderstreept dat je bij procenten altijd moet weten waarvan iets zoveel procent is.

In een persbericht van het Nibud stond namelijk:

Ruim 30% van de Nederlanders loopt achter met betalingen en ruim 70% van hen heeft meerdere soorten schulden; [...]

Het ANP had daarvan gemaakt (en diverse kranten namen het zonder te controleren over):

Ruim 30 procent van de Nederlanders loopt achter met betalingen en ruim 70 procent heeft meerdere soorten schulden.

Door het weglaten van “van hen” worden de bedoelde 21% er opeens 70%!


Copyright © 2011 R. Harmsen. Alle rechten voorbehouden, all rights reserved.

Kleuren: Neutraal Raar Geen voorkeur Pagina opnieuw laden