Steun?

Rente en stabiliteit (I)

4 oktober 2012 (eigen vertaling uit het Engels)

Samenvatting

Als de wiskunde klopt, maar de definities, begrippen en redeneringen zijn verkeerd, dan kom je tot onjuiste conclusies.

De wiskundige omderbouwing kan de conclusies overtuigend laten lijken, vooral voor mensen die niet zo handig zijn met wiskunde. Toch kunnen de conclusies dan nog steeds fout zijn.

Uitdaging

In een commentaar bij een artikel van Anthony Migchels, wees ene Larry uit Pittsburgh me op een wiskundige analyse van de stabiliteit van een financieel systeem met rentedragende leningen. De conclusie uit die analyse is dat zulke systemen inherent instabiel zijn.

Zoals Larry het formuleerde (door mij hier nu in het Nederlands weergegeven):

Zolang er maar voldoende nieuwe schulden bijkomen, is het mogelijk de schulden terug te betalen. Eeuwigdurende groei is onmogelijk vol te houden in een eindige wereld, omdat uiteindelijk de omvang van de nieuwe schulden onvoldoende is om alle rente te blijven voldoen.

Het geldsysteem met rentedragende leningen is in feite gewoon een piramidespel. Dit leidt met mathematische zekerheid tot faillissementen en een chronisch tekort aan geld.

Als je twijfelt aan de wiskundige onderbouwing, lees dan eens de uitstekende verhandeling van Marc Gauvin. Die heet “Formal Stability Analysis of Common Lending Practices and Consequences of Chronic Currency Devaluation” (‘Formele stabiliteitsanalyse van gebruikelijke geldleen­praktijken, met chronische geldontwaarding als gevolg’) – http://bibocurrency.org/English/Formal Stability Analysis and experiment (final) rev 3.4.pdf   

Mijn intuïtie vertelt me dat die ‘Formele stabiliteitsanalyse’ (hierna te noemen: Analyse) niet juist kan zijn. Een van de redenen daarvoor is dat ik die drie rekenbladen heb gezien, die in een andere discussie werden genoemd (hier staan links daarnaar). Ze tonen kleine maar realistische economievoorbeelden, met daarin rentedragende leningen, en geen economische groei. Deze voorbeelden zijn geheel stabiel!

Larry’s uitdaging (door webmaster Anthony Migchels in een latere discussie herhaald) was dat ik zou moeten laten zien hoe en waarom Marc Gauvins Analyse niet klopt.

In dit artikel en de volgende zal ik dat proberen te doen.

De wiskunde klopt

Toen ik de Analyse voor het eerst bekeek, werd ik afgeschrikt door de wiskundige formules. Ik doorzag niet meteen wat er aan de hand was. Omdat ik toen moe en slaperig was, legde ik het weg om het later nog eens te proberen.

Op 8 augustus deed ik een nieuwe poging en toen zag ik dit:

The analysis tool that has been used to arrive at the conclusions has been the Z transform.” (Om tot de conclusies te komen is gebruik gemaakt van de wiskundige techniek ‘Z-transformatie’.)

Ik had nog nooit van Z-transformatie gehoord, maar uit de Wikipedia begreep dat het net zoiets is als Laplace-transformatie, maar dan voor discrete waarden in plaats van continue signalen en systemen.

Dat was een opluchting, want Laplace-transformatie is voor mij wel heel bekend! Ik heb die leren kennen rond 1975 toen ik elektrotechniek studeerde.

Laplace- transformatie is heel handig, omdat je daarmee condensatoren en spoelen kunt opvatten als complexe impedanties, en dan de frequentiekarakteristiek van een schakeling (bijvoorbeeld een klankfilter) kunt afleiden door gewoon de wetten van Ohm en Kirchhoff toe te passen in plaats van te moeten differentiëren en integreren. Zoveel makkelijker, als die transformaties maar eenmaal gedaan zijn.

Dus de wiskunde in de Analyse van Sergio Domínguez en Marc Gauvin kan ik wel volgen. En die wiskunde is volgens mij ook wel in orde. Het probleem zit niet in de wiskunde. Maar zoals ik in mijn samenvatting al schreef, kun je met verkeerde redeneringen tot onjuiste conclusies komen, ook als de wiskundige afleidingen wel kloppen.

Stabiliteit?

Betekenis van symbolen Y

Schuld is wat je de bank moet betalen

Op bladzijde 3 van de Analyse wordt Y verklaard als “Total debt in each period”, dus de totale schuld in elke periode. Bladzijde 4 geeft de formule:

Yk = Pk + R1 k + R2 k = Pk + (Ik − Xk) + (Dk − Wk)

Dat betekent dat als de rente betaald wordt zoals overeengekomen (Ik − Xk is gelijk nul)zodat ook de boeterente nul is (Dk en Wk beide nul), ook R1 k en R2 k nul zijn. Dan is Yk gelijk aan Pk.

Anders gezegd, in dat geval is “Total debt” (de totale schuld) altijd gelijk aan “Principal” (de hoofdsom van de lening).

Naar mijn idee is dat ook juist, omdat “Total debt” aangeeft wat de lener op elk moment de bank schuldig is. Het is de verplichting van de lener tegenover de bank (credit in de boekhouding van de lener, als hij die heeft) en tevens de vordering die de bank heeft op de lener (debet in de boeken van de bank).

De bladzijden 9 en 10 geven een soortgelijke beschrijving met formules, voor een iets andere situatie, zoals in de Analyse beschreven.

Tot zover niks aan de hand. Maar nu wordt het spannend.

Schuld is hoofdsom PLUS betaalde rente?

Op bladzijde 5 komen we een andere variabele tegen, namelijk yk. Merk op dat alle eerder genoemde variabelen steeds een hoofdletter hadden: Yk.

Déze y, met een kleine letter, wordt ook aangeduid met “debt” (schuld). De grootheid wordt berekend uit:

yk = P (1 + k r1)

Soortgelijke formules voor iets andere situaties (zoals in de tekst beschreven) staan op de bladzijden 6 en 11.

Al die formules voor kleine letter y laten duidelijk zien dat deze interpretatie van schuld, anders dan die voor de hoofdletter Y, inclusief alle rente is (gewone rente en boeterente of samengestelde interest), zelfs als de lener die rente al aan de bank betaald heeft – zodat hij niet meer opnieuw hoeft te betalen.

Zoals ik het zie, is dat een onjuiste en misleidende opvatting van het begrip ‘schuld’ (“debt”). Die interpretatie klopt ook niet met de eerdere definitie van hoofdletter Y, die Domínguez and Gauvin daar ook “debt” noemden.

Tekst en grafieken

Merk op dat de grafieken op de bladzijden 6 (figuur 1), 7, 8, 11 en 12 (figuren 5 en 6) allemaal uitgaan van de kleine letter y (waarin ook de rente zit, zowel betaalde als onbetaalde), en niet van hoofdletter Y, waarin alleen onbetaalde rente begrepen is.

Daarom gaan de lijnen in de grafieken altijd omhoog, vanwege de rente. Of de rente al betaald is of niet, dat maakt daarbij geen verschil.

De tekst van de Analyse draagt op diverse plaatsen bij aan de inconsistentie over of de rente betaald is of niet.

Op bladzijde 5 staat, ik citeer:

The hypothesis for this simulation is a loan where only the regular interest is paid at the end of each period. This means that no reduction on the principal of the loan is provided.” Mijn vertaling: ‘De aanname voor deze simulatie is een lening waarbij aan het eind van elke periode alleen de gewone rente wordt betaald. Dat betekent dat niets wordt terugbetaald en dat de hoofdsom ongewijzigd blijft staan.’

Goed, als ze dat scenario willen bekijken en het is duidelijk gedefinieerd, waarom niet? Ik vind het best. De rente wordt betaald maar er vindt geen aflossing plaats. Dus de hoofdsom blijft constant. Toch laat de grafiek (figuur 1 op bladzijde 6) een stijgende lijn zien, omdat de rente, hoewel die al betaald is, toch geteld wordt als schuld.

De auteurs maken daar ook geen geheim van, ze zeggen het zelf duidelijk, onderaan bladzijde 5:

This means that both principal and interests (already paid) are summed up to give the total value of the debt.” Mijn vertaling: ‘Dit betekent dat zowel de hoofdsom als de rentebedragen (reeds betaald) bij elkaar geteld worden om de totale waarde van de schuld te vinden.’

Dan op bladzijde 6:

The hypothesis for this simulation is a loan where no funds are paid at any time, i.e. no principal, regular or penalty interests are paid.” Mijn vertaling: ‘De aanname voor deze simulatie is een lening waarbij op geen enkel moment iets betaald wordt , d.w.z. geen hoofdsom en ook geen rente (gewone rente noch boeterente).’

Hier betaalt de lener dus, anders dan in het voorgaande geval, niet de verschuldigde rente. De lijn in de grafiek (figuur 2 on bladzijde 7) gaat ook omhoog (nu wat sneller vanwege de boeterente), en dit keer is dat correct, omdat de onbetaalde rente iets toevoegt aan wat de lener de bank verschuldigd is.

Bladzijde 10:

The hypothesis for this simulation is a loan where no interest is paid and no reduction on the principal of the loan is provided11.” Mijn vertaling: ‘De aanname voor deze simulatie is een lening waarbij geen rente wordt betaald en niet voor een reductie van de hoofdsom van de lening wordt gezorgd.’

Dus geen rente en geen aflossing. Hetzelfde als eerst, behalve dat de berekening nu werkt met samengestelde interest in plaats van rente en boeterente. De lijn gaat omhoog vanwege de zich opstapelende onbetaalde rente.

Er staat een voetnoot 11 bij de geciteerde zin, die luidt:

It is straight forwardly proved that if the interest is regularly paid, principal doesn’t grow and the behavior of the loan is the same as a standard loan (linear growth of the debt)” Mijn vertaling: ‘Het is eenvoudig aan te tonen dat als de rente wel regelmatig wordt betaald, de hoofdsom niet toeneemt en de lening zich net zo gedraagt als een standaardlening (lineaire groei van de schuld).’

Een foutief schuldbegrip

Dit alles doet me denken aan de beroemde regel uit het beroemde nummer “Hotel California” van The Eagles:

You can check out any time you like, but you can never leave!” (Uitboeken kan altijd, maar dat wil niet zeggen dat je ook mag vertrekken!)

Hier: “Je kunt rente betalen zo veel je maar wilt, het maakt toch niks uit, het is nog steeds schuld en die zal blijven groeien, wat je ook doet of nalaat.”

Dat is gewoon onjuist. Een verkeerde voorstelling van het begrip ‘schuld’. Dit alleen al maakt de hele Analyse ongeldig.

Maar er is meer. Daar ga ik op in in een volgend artikel.


Copyright © 2012 R. Harmsen. Alle rechten voorbehouden, all rights reserved.

Kleuren: Neutraal Raar Geen voorkeur Pagina opnieuw laden